MUSICA – MATEMATICA – GEOMETRIA

LA SEZIONE AUREA (RAPPORTO AUREO – NUMERO AUREO – COSTANTE DI FIDIA O PROPORZIONE DIVINA)

Codesta simmetria si trova ovunque in natura ed è considerata la proporzione geometrica perfetta alla quale ambire ogni qualvolta si volesse esprimere piena armoniaperfezione ed equilibrio delle forme. Possiamo ritrovare sovente il rapporto aureo in molteplici contesti culturali (essa è presente in numerose opere d’arte) oltre che naturali, nell’ambito della scultura, pittura e più in generale in ogni tipologia di arte figurativa, nonché della matematica. Considerata per eccellenza il canone di bellezza al quale ispirarsi.

La sezione aurea è una riproduzione figurativa del numero aureo o Phi (indicato con la lettera greca Φ) ovvero un numero irrazionale che procede all’infinito (avente una parte decimale infinita) e che corrisponde all’incirca a 1,6180339887 approssimato a 1,618.

Tutti gli elementi in natura composti in frattale (figura geometrica che si ripete via via all’infinito su scala differente) sono costituiti dal numero aureo.

GUARDIAMO COS’E’ IL RAPPORTO AUREO

Prendiamo un segmento AR

dividiamolo in due parti A P P R di cui (A-P) ha una lunghezza superiore

considerando la lunghezza intera del segmento (che chiameremo a)

la lunghezza del segmento AP (che chiameremo b)

infine la lunghezza del segmento PR (che chiameremo c)

Se il rapporto fra il segmento a nella sua interezza e b (ovvero la parte più grande della suddivisione) è uguale al rapporto fra b e c, abbiamo una sezione aurea. Fra a e b c’è lo stesso rapporto che c’è fra b e c.

  • a sta a b come b sta a c

  • a : b = b : c

Quindi, se il nostro rettangolo ha un lato che misura 80.90 px andremo a dividere questo valore per la costante 1,618 = 50 (la parte più grande della nostra suddivisione). Per ottenere il valore della parte più piccola, andremo a sottrarre il risultato (della nostra suddivisione, ovvero 50) da 80.90 = 30.90

a = 80.90

b = 50

c = 30.90

La prima “apparizione” della sezione aurea risale al VI secolo a.C ad opera dei pitagorici – scuola pitagorica dell’antica Grecia – anche se conosciuta molto probabilmente già all’epoca dei babilonesi e degli antichi egizi.
Dapprima il rapporto aureo viene connesso al pentagono regolare, in quanto i pitagorici erano molto legati a tale figura geometrica.

Se colleghiamo i vertici di un pentagono (poligono regolare con 5 lati e 5 angoli uguali) tracciando le cinque diagonali otteniamo un pentagono stellato (chiamato anche pentagramma, pentacolo o stella a cinque punte). Le diagonali a loro volta formano al centro un altro pentagono regolare di dimensioni più piccole e con la punta rivolta verso il basso. Lo stesso criterio può essere ripetuto seguendo lo stesso identico procedimento all’interno di questo ultimo pentagono, generando un ulteriore pentagramma e un ulteriore pentagono, con la punta che si alterna verso l’alto e verso il basso, e così va avanti all’infinito.

I vertici del pentagono rappresentano i cinque elementi del cosmo, ovvero: terra, acqua, aria, fuoco e spirito

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IL PENTAGONO E LA SEZIONE AUREA – Romaprof
E’ probabilmente dallo studio delle proprietà del pentagono che si è scoperta la sezione aurea, in particolare in riferimento al rapporto tra le misure della diagonale e del lato

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IL CORTOMETRAGGIO “PAPERINO NEL MONDO DELLA MATEMAGICA
spiega molto bene la sezione aurea

L’antico segno del pentacolo è la combinazione simbolica di tutti i processi del micro e del macro cosmo su cui si basa la Creazione.

Il pentagramma è simboleggiato da cinque punte alle quali corrispondono altrettanti elementi metafisici (acqua, aria, fuoco, terra e spirito) contenuti all’interno del pentacolo, ove si organizzano le forze elementali, spiritiche e divine dell’universo.

Il rapporto tra questi Elementi è considerato una riproduzione miniaturizzata dei processi evolutivi sui quali è basato il cosmo.

  1. Questo processo inizia con l’elemento SPIRITO il cui compito è dare origine a tutto ciò che esiste.
  2. Partendo dalla divinità e scendendo verso la punta situata in basso a destra incontriamo l’elemento ACQUA, fonte primaria sostenitrice della vita sulla terra. Qui si verifica la creazione poiché è proprio dall’acqua che hanno origine le prime forme elementari di vita, le quali si evolvono nei millenni staccandosi dall’elemento primordiale.
  3. La fase successiva all’acqua è l’ARIA. Qui il processo creativo sale verso l’alto per continuare ad evolversi organizzandosi in forma indipendente. Si tratta di forme di vita che prendono coscienza del proprio .
  4. Dall’innocenza originaria si organizzano moralmente e tecnologicamente, incamminandosi lungo una linea orizzontale che condurrà all’elemento TERRA situato verso la destra del pentagramma. Ed è proprio l’elemento terra a simboleggiare il massimo grado di evoluzione che un’epoca è capace di sostenere.
  5. Quando l’evoluzione diventa eccessivamente ingente si manifestano ricadute innanzitutto sotto il profilo spirituale. L’essere tende ad allontanarsi dallo spirito, degradando verso il basso dove troveremo l’ultimo elemento il FUOCO. Egli rappresenta l’apice della degenerazione e anche se apparentemente può sembrare negativo, è proprio in seguito alla forte depressione che si manifesta una forte spinta indice di ripresa, di ritorno alle origini, di riscoperta del valore della spiritualità
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COSTRUZIONE DI UNA SPIRALE AUREA BASATA SU RETTANGOLO AUREO Romaprof
disegno tecnico
– in modo semplice e chiaro

Il numero aureo viene chiamato Phi Φ in omaggio di Fidia, scultore e architetto ateniese che prese parte al progetto del partendone utilizzando per l’appunto le proporzioni auree. La facciata del partenone è armonizzata da una serie di rettangoli aurei.
Un rettangolo si può dire costituito da proporzioni auree se il rapporto fra i suoi lati è Phi.

Vi è una connessione tra numero aureo e la successione di Fibonacci. Un numero qualsiasi della successione di Fibonacci diviso per il numero precedente restituisce un numero che si accosta a Phi più si prosegue verso l’infinito più ci si avvicina ad un risultato in approssimazione simile al numero aureo.

La successione di Fibonacci (detta anche successione aurea) è una successione di numeri interi in cui ciascun numero è il risultato della somma dei due precedenti.

SERIE” DI FIBONACCI

1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  233  377  610  987  1597  2584  4181  6765. . . 

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

. . . 

13 + 21 = 34

21 + 34 = 55

34 + 55 = 89

55 + 89 = 144

89 +  144 = 233

144 + 233 = 377

5 : 3 = 1.66666666667

8 : 5 = 1.6

13 : 8 = 1.625

21 : 13 = 1.61538461538

34 : 21 = 1.61904761905

55 : 34 = 1.61764705882

89 : 55 = 1.61818181818

144 : 89 = 1.61797752809

233 : 144 = 1.61805555556

. . . 

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CONFRONTO TRA SPIRALE DI FIBONACCI E SPIRALE AUREA – Romaprof
La spirale aurea ha come base il rettangolo aureo, mentre in questa spirale di Fibonacci come base per il disegno abbiamo il triangolo aureo. La differenza tra questa spirale e la spirale aurea è nell’andamento dell’aspirale stessa.

SPIRALE LOGARITMICA E LA SUCESSIONE DEI NUMERI DI FIBONACCI Math.it
Animazione geometrica che mostra la relazione tra la successione numerica dei numeri di Fibonacci, la disposizione geometrica dei quadrati, i cui lati crescono di misura come gli stessi numeri e la geometria della spirale logaritmica.

LA SEZIONE AUREA E LA SERIE DI FIBONACCI Guido Caposio
La spirale di Fibonacci si costruisce partendo dai quadrati i cui lati sono i numeri di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…; dall’unione di un’infinità di quarti di circonferenza in detti quadrati si può costruire una spirale, detta – appunto – spirale di Fibonacci, in grado di approssimare la spirale aurea. Spesso in modo improprio si identifica la spirale di Fibonacci con la spirale aurea. La spirale di Fibonacci, come detto, è data dall’unione di un’infinità di quarti di circonferenza, mente la spirale aurea è un particolare tipo di spirale logaritmica, che si sovrappone quasi totalmente a quella di Fibonacci. Tra le due curve il grado di approssimazione è talmente elevato da non potersi notare visivamente la differenza tra le due.

Prendendo in considerazione la serie di Fibonacci per comporre musica, sarà possibile applicare con un certo criterio la sezione aurea, sia armonicamente che ritmicamente.

To be continued. . .

Ermete Trismegisto: “Ciò che è in basso è come ciò che è in alto, e ciò che è in alto è come ciò che è in basso, per fare il miracolo di una cosa unica.”

Siete liberi di condividere, copiare e ridistribuire il materiale purché ne citiate la fonte, grazie.

A cura di Serena Giannini

LA SEZIONE AUREA (RAPPORTO AUREO – NUMERO AUREO – COSTANTE DI FIDIA O PROPORZIONE DIVINA)

Codesta simmetria si trova ovunque in natura ed è considerata la proporzione geometrica perfetta alla quale ambire ogni qualvolta si volesse esprimere piena armoniaperfezione ed equilibrio delle forme. Possiamo ritrovare sovente il rapporto aureo in molteplici contesti culturali (essa è presente in numerose opere d’arte) oltre che naturali, nell’ambito della scultura, pittura e più in generale in ogni tipologia di arte figurativa, nonché della matematica. Considerata per eccellenza il canone di bellezza al quale ispirarsi.

La sezione aurea è una riproduzione figurativa del numero aureo o Phi (indicato con la lettera greca Φ) ovvero un numero irrazionale che procede all’infinito (avente una parte decimale infinita) e che corrisponde all’incirca a 1,6180339887 approssimato a 1,618.

Tutti gli elementi in natura composti in frattale (figura geometrica che si ripete via via all’infinito su scala differente) sono costituiti dal numero aureo.

GUARDIAMO COS’E’ IL RAPPORTO AUREO

Prendiamo un segmento AR

dividiamolo in due parti A P P R di cui (A-P) ha una lunghezza superiore

considerando la lunghezza intera del segmento (che chiameremo a)

la lunghezza del segmento AP (che chiameremo b)

infine la lunghezza del segmento PR (che chiameremo c)

Se il rapporto fra il segmento a nella sua interezza e b (ovvero la parte più grande della suddivisione) è uguale al rapporto fra b e c, abbiamo una sezione aurea. Fra a e b c’è lo stesso rapporto che c’è fra b e c.

  • a sta a b come b sta a c

  • a : b = b : c

Quindi, se il nostro rettangolo ha un lato che misura 80.90 px andremo a dividere questo valore per la costante 1,618 = 50 (la parte più grande della nostra suddivisione). Per ottenere il valore della parte più piccola, andremo a sottrarre il risultato (della nostra suddivisione, ovvero 50) da 80.90 = 30.90

a = 80.90

b = 50

c = 30.90

La prima “apparizione” della sezione aurea risale al VI secolo a.C ad opera dei pitagorici – scuola pitagorica dell’antica Grecia – anche se conosciuta molto probabilmente già all’epoca dei babilonesi e degli antichi egizi.
Dapprima il rapporto aureo viene connesso al pentagono regolare, in quanto i pitagorici erano molto legati a tale figura geometrica.

Se colleghiamo i vertici di un pentagono (poligono regolare con 5 lati e 5 angoli uguali) tracciando le cinque diagonali otteniamo un pentagono stellato (chiamato anche pentagramma, pentacolo o stella a cinque punte). Le diagonali a loro volta formano al centro un altro pentagono regolare di dimensioni più piccole e con la punta rivolta verso il basso. Lo stesso criterio può essere ripetuto seguendo lo stesso identico procedimento all’interno di questo ultimo pentagono, generando un ulteriore pentagramma e un ulteriore pentagono, con la punta che si alterna verso l’alto e verso il basso, e così va avanti all’infinito.

I vertici del pentagono rappresentano i cinque elementi del cosmo, ovvero: terra, acqua, aria, fuoco e spirito

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IL PENTAGONO E LA SEZIONE AUREA – Romaprof
E’ probabilmente dallo studio delle proprietà del pentagono che si è scoperta la sezione aurea, in particolare in riferimento al rapporto tra le misure della diagonale e del lato

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IL CORTOMETRAGGIO “PAPERINO NEL MONDO DELLA MATEMAGICA
spiega molto bene la sezione aurea

L’antico segno del pentacolo è la combinazione simbolica di tutti i processi del micro e del macro cosmo su cui si basa la Creazione.

Il pentagramma è simboleggiato da cinque punte alle quali corrispondono altrettanti elementi metafisici (acqua, aria, fuoco, terra e spirito) contenuti all’interno del pentacolo, ove si organizzano le forze elementali, spiritiche e divine dell’universo.

Il rapporto tra questi Elementi è considerato una riproduzione miniaturizzata dei processi evolutivi sui quali è basato il cosmo.

  1. Questo processo inizia con l’elemento SPIRITO il cui compito è dare origine a tutto ciò che esiste.
  2. Partendo dalla divinità e scendendo verso la punta situata in basso a destra incontriamo l’elemento ACQUA, fonte primaria sostenitrice della vita sulla terra. Qui si verifica la creazione poiché è proprio dall’acqua che hanno origine le prime forme elementari di vita, le quali si evolvono nei millenni staccandosi dall’elemento primordiale.
  3. La fase successiva all’acqua è l’ARIA. Qui il processo creativo sale verso l’alto per continuare ad evolversi organizzandosi in forma indipendente. Si tratta di forme di vita che prendono coscienza del proprio .
  4. Dall’innocenza originaria si organizzano moralmente e tecnologicamente, incamminandosi lungo una linea orizzontale che condurrà all’elemento TERRA situato verso la destra del pentagramma. Ed è proprio l’elemento terra a simboleggiare il massimo grado di evoluzione che un’epoca è capace di sostenere.
  5. Quando l’evoluzione diventa eccessivamente ingente si manifestano ricadute innanzitutto sotto il profilo spirituale. L’essere tende ad allontanarsi dallo spirito, degradando verso il basso dove troveremo l’ultimo elemento il FUOCO. Egli rappresenta l’apice della degenerazione e anche se apparentemente può sembrare negativo, è proprio in seguito alla forte depressione che si manifesta una forte spinta indice di ripresa, di ritorno alle origini, di riscoperta del valore della spiritualità
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COSTRUZIONE DI UNA SPIRALE AUREA BASATA SU RETTANGOLO AUREO Romaprof
disegno tecnico
– in modo semplice e chiaro

Il numero aureo viene chiamato Phi Φ in omaggio di Fidia, scultore e architetto ateniese che prese parte al progetto del partendone utilizzando per l’appunto le proporzioni auree. La facciata del partenone è armonizzata da una serie di rettangoli aurei.
Un rettangolo si può dire costituito da proporzioni auree se il rapporto fra i suoi lati è Phi.

Vi è una connessione tra numero aureo e la successione di Fibonacci. Un numero qualsiasi della successione di Fibonacci diviso per il numero precedente restituisce un numero che si accosta a Phi più si prosegue verso l’infinito più ci si avvicina ad un risultato in approssimazione simile al numero aureo.

La successione di Fibonacci (detta anche successione aurea) è una successione di numeri interi in cui ciascun numero è il risultato della somma dei due precedenti.

SERIE” DI FIBONACCI

1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  233  377  610  987  1597  2584  4181  6765. . . 

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

. . . 

13 + 21 = 34

21 + 34 = 55

34 + 55 = 89

55 + 89 = 144

89 +  144 = 233

144 + 233 = 377

5 : 3 = 1.66666666667

8 : 5 = 1.6

13 : 8 = 1.625

21 : 13 = 1.61538461538

34 : 21 = 1.61904761905

55 : 34 = 1.61764705882

89 : 55 = 1.61818181818

144 : 89 = 1.61797752809

233 : 144 = 1.61805555556

. . . 

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CONFRONTO TRA SPIRALE DI FIBONACCI E SPIRALE AUREA – Romaprof
La spirale aurea ha come base il rettangolo aureo, mentre in questa spirale di Fibonacci come base per il disegno abbiamo il triangolo aureo. La differenza tra questa spirale e la spirale aurea è nell’andamento dell’aspirale stessa.

SPIRALE LOGARITMICA E LA SUCESSIONE DEI NUMERI DI FIBONACCI Math.it
Animazione geometrica che mostra la relazione tra la successione numerica dei numeri di Fibonacci, la disposizione geometrica dei quadrati, i cui lati crescono di misura come gli stessi numeri e la geometria della spirale logaritmica.

LA SEZIONE AUREA E LA SERIE DI FIBONACCI Guido Caposio
La spirale di Fibonacci si costruisce partendo dai quadrati i cui lati sono i numeri di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…; dall’unione di un’infinità di quarti di circonferenza in detti quadrati si può costruire una spirale, detta – appunto – spirale di Fibonacci, in grado di approssimare la spirale aurea. Spesso in modo improprio si identifica la spirale di Fibonacci con la spirale aurea. La spirale di Fibonacci, come detto, è data dall’unione di un’infinità di quarti di circonferenza, mente la spirale aurea è un particolare tipo di spirale logaritmica, che si sovrappone quasi totalmente a quella di Fibonacci. Tra le due curve il grado di approssimazione è talmente elevato da non potersi notare visivamente la differenza tra le due.

Prendendo in considerazione la serie di Fibonacci per comporre musica, sarà possibile applicare con un certo criterio la sezione aurea, sia armonicamente che ritmicamente.

To be continued. . .

Ermete Trismegisto: “Ciò che è in basso è come ciò che è in alto, e ciò che è in alto è come ciò che è in basso, per fare il miracolo di una cosa unica.”

Siete liberi di condividere, copiare e ridistribuire il materiale purché ne citiate la fonte, grazie.

A cura di Serena Giannini

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