SCALA PITAGORICA

SCALA PITAGORICA
Basata sull’intervallo di 5ª rappresentato dal rapporto 3/2 e di 8ª rappresentato dal rapporto 2/1

SI TRATTA DI UNO DEI PRIMI SISTEMI DI SCALA SVILUPPATI NEL MONDO DELLA MUSICA OCCIDENTALE.

Pitagora era un filosofo e matematico greco che fondeva insieme diverse discipline come la matematica, l’astronomia, la musica e la filosofia. Oltre alle sue intuizioni teoriche, egli predicava uno stile di vita particolare, basato su precetti rituali e pratiche ascetiche. Questo ad esempio includeva cose come l’ordine in cui calzare le scarpe, esercizi per la memoria, passeggiate in luoghi sacri, la pratica dello sport e della musica per mantenere il corpo e l’anima in armonia con l’universo… Ogni mattina, Pitagora suonava la lira e intonava antichi canti di guarigione.

Un bel giorno Pitagora, passeggiando tra le vie della città (Crotone) si trovò nei pressi della bottega di un fabbro. Egli udì i suoni dei martelli che battevano sulle incudini e s’accorse con interesse che alcuni suoni erano piacevoli mentre altri risultavano discordanti.
Pitagora volle capire subito quale poteva essere il principio di tale differenza. Entrò quindi nella bottega del fabbro e si mise a sperimentare con i martelli. Ne afferrò due uguali e battendoli sull’incudine notò che producevano lo stesso suono. Ne prese allora due differenti, dei quali il primo pesava il doppio rispetto al secondo, li percosse sull’incudine e scoprì che il suono prodotto era sempre lo stesso ma ad un’altezza differente. Egli continuò a sperimentare e notò che se i martelli erano in un rapporto di 3 a 2, ossia se il peso di uno era una volta e mezza il peso dell’altro, il suono emesso non era più lo stesso, ma era differente. Ne conseguì che martelli di grandezza disuguale emettevano suoni diversi, in quanto l’altezza dei suoni dipendeva proprio dalle diverse grandezze dei martelli. Successivamente Pitagora replicò l’esperimento utilizzando il monocordo, strumento da lui stesso realizzato per verificare ed estendere quanto appreso nella bottega del fabbro. Questo è l’aneddoto tramandato da Giamblico di Calcide, il quale spiega come il filosofo di Samo scoprì il legame tra musica e matematica e tutti i molteplici aspetti in comune.

Pitagora fu in assoluto il primo ad avviare lo studio della musica basandosi sulla matematica.

La scala pitagorica diatonica si ottiene partendo da due rapporti fondamentali: 2:1 che corrisponde all’intervallo di 8ª e 3:2 che corrisponde all’intervallo di 5ª giusta (ascendente o discendente).
Partendo per esempio dalla nota Do si costruiscono intervalli di 5ª ascendenti, andando a moltiplicare continuamente per 3/2 la nota ottenuta di volta in volta (la 5ª della 5ª etc.). Do – Sol – Re – La – Mi – Si. . .

Si avrà così la seguente successione: 1/1 – 3/2 – 9/4 – 27/8 – 81/16 – 243/32, ecc., la cui evoluzione geometrica si può meglio esprimere come 3 – 3² – 3³ – 3⁴ – 3⁵. . . e 2 – 2² – 2³ – 2⁴ – 2⁵. . .

Basandoci sulla nota Do₃ e moltiplicando per 3/2 il volare ottenuto ricaviamo la serie seguente:

1/1 = Do₃

1/1 x 3/2 = 3/2 = Sol₃

3/2 x 3/2 = 9/4 = Re₄

9/4 x 3/2 =  27/8 = La₄

27/8 x 3/2 =  81/16 = Mi₅

81/16 x 3/2 =  243/32 = Si₅

243/32 x 3/2 = 729/64 = Fa#₆

729/64 x 3/2 = 2187/128 = Do#₇

2187/128 x 3/2 = 6561/256 = Sol#₇

6561/256 x 3/2 = 19683/512 = Re#₈

19683/512 x 3/2 = 59049/1024 = La#₈

59049/1024 x 3/2 = 177147/2048 = Mi#₉

177147/2048 x 3/2 = 531441/4096 = Si#₉

. . .

Questa progressione aumenta gradualmente il divario tra le note fino a superare l’intervallo massimo dell’ottava (limite invalicabile). Tuttavia, questo problema può essere risolto facilmente moltiplicando il denominatore  per 2 o per una sua potenza, in modo da far rientrare le note all’interno del range dell’ottava.

Con questa operazione, la progressione descritta precedentemente verrà così convertita: 1/1 – 3/2 – 9/8 – 27/16 – 81/64 – 243/128

Do -> Re -> Mi -> Fa -> Sol -> La. . . tutto rientra perfettamente nei limiti dell’ottava.

Calcoliamo ora le frequenze seguendo la regola generatrice della scala pitagorica partendo da Do₃ pari a 256 Hz.

Do₃ = 256 Hz

Sol₃ (256 Hz) x (3/2) = 384 Hz

Re₄ (384 Hz) x (3/2) = 576 Hz

La₄ (576 Hz) x (3/2) = 864 Hz

Mi₅ (864 Hz) x (3/2) = 1296 Hz

Si₅ (1296 Hz) x (3/2) = 1944 Hz

Fa#₆ (1944 Hz) x (3/2) = 2916 Hz

Do#₇ (2916 Hz) x (3/2) = 4374 Hz

Sol#₇ (4374 Hz) x (3/2) = 6561 Hz

Re#₈ (6561 Hz) x (3/2) = 9841.5 Hz

La#₈ (9841.5 Hz) x (3/2) = 14762.25 Hz

Mi#₉ (14762.25 Hz) x (3/2) = 22143.375 Hz

Si#₉ (22143.375 Hz) x (3/2) = 33215.0625 Hz

LA SEQUENZA DI QUINTE PUÒ ESSERE RIPETUTA ALL’INFINITO

Do -> Sol -> Re -> La -> Mi -> Si -> Fa ♯ -> Do ♯ -> Sol ♯ -> Re ♯ -> La ♯ -> Mi ♯ -> Si ♯. . . Il “circolo delle quinte” nella scala pitagorica non si chiude mai (non ritorna sulla nota di partenza all’ottava superiore) in entrambe le direzioni. Viene così descritto: spirale (infinita) delle quinte (del resto un cerchio si chiude se si torna al punto di partenza)

La soluzione al problema la si consegue interrompendo ad un certo punto la serie delle quinte, determinando così le note più adatte secondo il principio della consonanza e ottenendo la scala pitagorica diatonica (formata solamente da sette note).

Sebbene teoricamente sia possibile dividere l’ottava in un numero infinito di parti nel sistema pitagorico, gli intervalli tra le note diverrebbero progressivamente sempre più stretti, superando la soglia di discriminazione delle frequenze dell’orecchio umano (ci sarebbe quindi un punto in cui le differenze di frequenza tra le note diventerebbero così piccole da non poter essere distinguibili come note separate).

TABELLA – REGOLA GENERATIVA ASCENDENTE – SCALA PITAGORICA

Do₃ = Do centrale, ovvero il tasto centrale di un pianoforte o di una tastiera a 88 tasti.

Progressione      Andamento      Nota      Progressione      Andamento      Nota     
Rapporto 5ª       Geometrico               Interno 8ª        Geometrico

1/1               ...            Do3       1/1               ...            Do3        
3/2               3/2            Sol3      3/2               3/2            Sol3
9/4               3^2/2^2        Re4       9/8               3^2/2^2/2      Re3
27/8              3^3/2^3        La4       27/16             3^3/2^3/2      La3
81/16             3^4/2^4        Mi5       81/64             3^4/2^4/4      Mi3                 
243/32            3^5/2^5        Si5       243/128           3^5/2^5/4      Si3

CALCOLO DELLE POTENZE
Per calcolare una potenza occorre moltiplicare la base per se stessa tante volte quanto è l’esponente.

Per ottenere il Fa, dalla nota di partenza (Do₃) si scende di una 5ª (Fa₂) e si sale poi di un’ottava (Fa₃).

Organizzando in ordine tonale le note di questa scala diatonica in relazione al primo grado della scala, avremo la seguente tabella ove ogni nota è rappresentata da un valore frazionario, decimale e centesimale.

Note     Frazionari     Decimali     Cent

Do       1:1            1,0000       0         
Re       9:8            1,1250       204  
Mi       81:64          1,2656       408            
Fa       4:3            1,3333       498
Sol      3:2            1,5000       702                 
La       27:16          1,6875       906
Si       243:128        1,8984       1100        
Do       2:1            2.0000       1200

TONO E SEMITONO PITAGORICO

La scala pitagorica diatonica è caratterizzata da soli due intervalli tra le note in successione: il tono pitagorico (equivalente a circa 204 cent) e il semitono pitagorico (o diatonico o limma) equivalente a 90 cent.

T – T – S – T – T – T – S

T = Tono Pitagorico = 9:8 = 1,125 (valori decimali) – 204 CENT
S = Semitono Diatonico (o pitagorico o limma) = 256:243 = 1,053 (valori decimali) – 90 CENT (Il suo complementare viene definito semitono cromatico)

CALCOLO TONO MAGGIORE E SEMITONO DIATONICO

Do – Re 
(9/8)/(1/1) = 9:8 = 1,125

Re – Mi 
(81/64)/(9/8) = 9:8 = 1,125

Fa – Sol 
(3/2)/(4/3) = 9:8 = 1,125

Sol – La 
(27/16)/(3/2) = 9:8 = 1,125

La – Si 
(243/128)/(27/16) = 9:8 = 1,125

Mi – Fa  
(4/3)/(81/64) = 256:243 = 1,053

Si – Do  
(2/1)/(243/128) = 256:243 = 1,053

COMMA PITAGORICO
Il comma sta ad indicare la differenza di frequenza tra due note di altezza quasi uguale.

Utilizzando l’intervallo di 5ª che ricordiamo ha come rapporto 3/2 e rimanendo all’interno dell’ottava, alla dodicesima 5ª dovremmo concludere il nostro circolo (esattamente sulla nota Do all’ottava superiore). Questo però non accade, a causa del comma pitagorico. Quindi il Si♯ (seguendo il calcolo delle quinte esatte) supera la frequenza del Do all’ottava superiore di un certo numero di Hz, risultando molto più vicino al Do♯ anziché al Do.
Nel temperamento equabile (che suddivide l’8ª in 12 semitoni uguali e consente di suonare in tutte le tonalità in modo uniforme – a costo di sacrificare l’armonia perfetta delle quinte), per ovviare a questa eccedenza sono state utilizzate quinte più piccole.

TAB: Nicola Ferroni

Do1  Sol1  Re2   La2   Mi3   Si3   Fa#4  Do#5  Sol#5 Re#6  La#6  Mi#7  Si#7
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
                                                          
Do1      Do2       Do3       Do4       Do5       Do6       Do7      Do8 | 
|---------|---------|---------|---------|---------|---------|---------| |
                                                                      | |
                                                                      Comma
                                                                      Pitagorico

Alla fine di 7 ottave (totale 12 quinte) dovremmo ritrovare la nota di partenza.

Come abbiamo visto però il Si♯ ha di fatto una frequenza più acuta (il “circolo delle quinte” va oltre di 23,46 cent – approssimato 24 cent). Se al posto di Mi♯₇ – Si♯₇ vi fosse Fa₇ – Do₈, avremmo una 5ª decisamente più stretta, con un rapporto minore di 3/2 (quinta del lupo).

Dodici quinte pure e consecutive non restituiscono l’ottava. Si forma così il comma pitagorico, ovvero la differenza tra il Si♯ e il Do.

VANTAGGI DELLA SCALA PITAGORICA DIATONICA

1. Il primo vantaggio è che abbiamo solo due tipi di intervallo (quindi tra Do–Re, Re–Mi, Fa–Sol, Sol–La, La e Si c’è la stessa distanza, così come vi è la stessa distanza tra Mi–Fa, Si e Do).
2. Un altro vantaggio è che tutti gli intervalli di 8ª – 5ª (e 4ª) all’interno della scala sono perfettamente consonanti, in quanto combaciano con i rapporti semplici 3:2 e 2:1.
3. In ultimo i Modi della Musica Greca. La disposizione dei semitoni pitagorici all’interno della scala cambia a seconda del punto (nota) di partenza. Questo a sua volta influisce sul “sapore” o sul carattere della scala. I risultati musicali così ottenuti presentano variazioni significative nella struttura melodica. I Greci chiamarono queste diverse combinazioni di note e intervalli “modi” musicali. Ogni modo aveva una sua peculiarità e contribuiva a creare un’atmosfera unica.

TABELLA – I MODI DELLA MUSICA GRECA

Modi          I° Tetracordo     II° Tetracordo     Nota

Ionico        Do-Si-La-Sol      Fa-Mi-Re-Do        Do         
Dorico        Re-Do-Si-La       SoL-Fa-Mi-Re       Re  
Frigio        Mi-Re-Do-Si       La-Sol-Fa-Mi       Mi            
Lidio         Fa-Mi-Re-Do       Si-La-Sol-Fa       Fa
Misolidio     SoL-Fa-Mi-Re      Do-Si-LA-Sol       Sol                 
Eolio         La-Sol-Fa-Mi      Re-Do-Si-La        La
Locrio        Si-LA-Sol-Fa      Mi-Re-Do-Si        Si        

Ciascun tetracordo è composto da due toni maggiori (9/8 = 204 cent) e un semitono diatonico (256/243 = 90 cent). A sua volta i tetracordi sono separati da un altro tono maggiore.

Do (0) Re (204) Mi (204) Fa (90) – Sol (204) La (204) Si (204) Do (90)

TABELLA – SCALA PITAGORICA (DIATONICA) RIORDINATA IN UN’UNICA 8ª – (La₃ = 432 Hz)

1T = 204 CENT il cui rapporto è 9/8
1ST = 90 CENT il cui rapporto è 256/243 

Note            Rapporto      Rap. (Freq.)     Rap. con la     Frequenza     Cent     Intervalli   
Rapporto 5ª     Lunghezze     con la Fond.     Nota Prec.

Do              1:1           1:1              ...             256 Hz        0        Unisono       
Re              8:9           9:8              9:8             288 Hz        204      2ª Maggiore
Mi              64:81         81:64            9:8             324 Hz        408      3ª Maggiore
Fa              3:4           4:3              256:243         341 Hz        498      4ª Giusta
Sol             2:3           3:2              9:8             384 Hz        702      5ª Giusta                 
La              16:27         27:16            9:8             432 Hz        906      6ª Maggiore
Si              128:243       243:128          9:8             486 Hz        1110     7ª Maggiore
Do              1:2           2:1              256:243         512 Hz        1200     8ª Giusta

TERZA E SESTA MAGGIORE (SCALA PITAGORICA-NATURALE) – RELAZIONE TRA I RAPPORTI.

Terza maggiore:

• Nella scala pitagorica, la terza maggiore (Do-Mi) ha un rapporto di 81:64
• Nella scala naturale (o armonica), la terza maggiore ha un rapporto di 5:4

Sesta maggiore:

• Nella scala pitagorica, la sesta maggiore (Do-La) ha un rapporto di 27:16
• Nella scala naturale, la sesta maggiore ha un rapporto di 5:3

La terza e la sesta maggiore della scala pitagorica sono circa 21,51 centesimi più alte rispetto alla terza e alla sesta maggiore della scala naturale, una differenza percepibile ma non enorme.

La leggera stonatura che si verifica nella scala pitagorica è una conseguenza del metodo utilizzato per costruirla, basato esclusivamente su quinte giuste (rapporto 3:2). Questo approccio produce quinte perfettamente intonate, ma introduce piccole discrepanze in altri intervalli, come le terze e le seste. Questi intervalli, pur essendo vicini ai rapporti ideali, risultano leggermente più acuti rispetto alle loro controparti nella scala naturale.

SCALA PITAGORICA – CROMATICA
Composta da dodici suoni, con l’aggiunta delle note alterate Do ♯ – Fa ♯ – Sol ♯ – Mi♭ – Si♭

Do -> Sol -> Re -> La -> Mi -> Si -> Fa ♯ -> Do ♯ -> Sol ♯ -> Re ♯ -> La ♯ -> Mi ♯ -> Si ♯ -> (Fa  -> Do  -> Sol  -> Re  -> La  -> Mi  -> Si . . .)

Do -> Fa -> Si♭-> Mi♭-> La♭-> Re♭-> Sol♭-> Do♭-> Fa♭. . .

Includendo nella nostra scala le note alterate ottenute mediante il ciclo di quinte ascendenti, nella fattispecie -> Fa♯ – Do♯ – Sol♯ e quelle ottenute dal ciclo di quinte discendenti (Si♭e Mi♭), si consegue la scala cromatica pitagorica.

La scala diatonica ha un limitato numero di note e da ciò ne deriva una limitata libertà compositiva, con più note invece è possibile diversificare in maggior misura le melodie. Per superare quindi questo svantaggio basta semplicemente incrementare il numero delle note appartenenti alla scala, senza però mettere a rischio i vantaggi della scala diatonica, pertanto è necessario:

1. assicurarsi di mantenere integra la consonanza degli intervalli 8ª e 5ª;
2. rendere il più possibile omogenei i gradi consecutivi della scala (l’intervallo fra due note consecutive deve essere dello stesso tipo o al massimo di due tipi diversi);
3. non essere in numero sproporzionato in modo da non avere frequenze troppo ravvicinate (si pensi solo a quanti tasti dovrebbe avere un pianoforte se la scala contenesse troppe note).

Come è possibile notare dalla tabella sottostante sono state escluse le note: Re♭ – Re ♯ – Sol♭ – La♭ e La ♯ in quanto non sono suoni omofoni.

Se includessimo le note lasciate fuori dalla scala si avrebbero 17 gradi piuttosto che 12, ciò comporterebbe avere un bel incomodo per molti strumenti quali per esempio il pianoforte (che avrebbe 17 tasti per ogni ottava) oppure l’arpa. . .

Ad esempio il Do ♯ (rapporto 2187 : 2048) è differente dal Re♭(rapporto 256 : 243). Il che significa che questi due suoni non sono omofoni, ovvero non sono lo stesso suono, distano un comma pitagorico. Al contrario nel temperamento equabile le note appena citate vengono definite enarmoniche o omofone, ossia hanno la stessa altezza ma diverso nome.

TABELLA – SCALA PITAGORICA CROMATICA – La₃ = 432 Hz

Nota        Rapporto        Freq. (Hz)        Cent

Do          1:1             256               0           
Do♯         2187:2048       273.3750          114
Re          9:8             288               204
Mib         32:27           303.4074          294               
Mi          81:64           324               408                     
Fa          4:3             341.333           498 
Fa♯         729:512         364.5000          612               
Sol         3:2             384               702                   
Sol♯        6561:4096       410.0625          816                       
La          27:16           432               906
Sib         16:9            455.1111          996
Si          243:128         486               1110
Do          2:1             512               1200

VANTAGGI DELLA SCALA PITAGORICA CROMATICA

1. Viene conservata la consonanza fra 8ª e 5ª.
2. I gradi consecutivi della scala sono quanto basta omogenei, avendo collocato le note alterate quasi a metà del tono pitagorico.
3. Le frequenze tra due gradi consecutivi non sono troppo ravvicinate, nonostante l’incremento del numero delle note l’intervallo più piccolo rimane sempre il limma.

SVANTAGGI DELLA SCALA PITAGORICA CROMATICA

1. Per quanto riguarda l’intervallo di 5ª  Sol ♯ – Mi♭esso appare chiaramente stonato–dissonante. L’intervallo intonato sarebbe Sol ♯ – Re ♯, ma codesta 5ª manca giacché Re ♯ è stato omesso.
2. Gli intervalli di 3ª e 6ªcontinuano ad essere poco consonanti.
3. In ultimo, abbiamo un grosso problema legato al cambiamento di tonalità. Se uno strumento è accordato per suonare in una precisa tonalità, è probabile che risulti scordato se suonato in una tonalità differente.

SCALA PITAGORICA CROMATICA – INTERVALLI FRA NOTE CONSECUTIVE

1. Tono Pitagorico – 204 Cent
2. Semitono Diatonico (o pitagorico o limma) – 90 Cent
3. Semitono Cromatico (o apotome) – 114 Cent

Se calcoliamo la differenza tra tono e semitono diatonico (ovvero 204 – 90 = 114 cent), otteniamo un ulteriore intervallo chiamato apotome (o semitono cromatico). Codesto intervallo è più ampio rispetto al semitono diatonico di un comma pitagorico, ossia 24 cent. Quindi, la distanza fra semitono diatonico e cromatico è detta comma pitagorico.

La somma del sem. diatonico più il sem. cromatico = tono pitagorico (114 + 90 = 204)
La differenza fra sem. diatonico e sem. cromatico = comma pitagorico (114 – 90 = 24)

A cura di Serena Giannini